백준 / Recursion(재귀) / 11729번 / 하노이 탑 이동 순서 / C++

문제

세 개의 장대가 있고 첫 번째 장대에는 반경이 서로 다른 n개의 원판이 쌓여 있다. 각 원판은 반경이 큰 순서대로 쌓여있다. 이제 수도승들이 다음 규칙에 따라 첫 번째 장대에서 세 번째 장대로 옮기려 한다.

 

1. 한 번에 한 개의 원판만을 다른 탑으로 옮길 수 있다.
2. 쌓아 놓은 원판은 항상 위의 것이 아래의 것보다 작아야 한다.

이 작업을 수행하는데 필요한 이동 순서를 출력하는 프로그램을 작성하라. 단, 이동 횟수는 최소가 되어야 한다.

아래 그림은 원판이 5개인 경우의 예시이다.

 

입력

첫째 줄에 첫 번째 장대에 쌓인 원판의 개수 N (1 ≤ N ≤ 20)이 주어진다.

 

출력

첫째 줄에 옮긴 횟수 K를 출력한다.

두 번째 줄부터 수행 과정을 출력한다. 두 번째 줄부터 K개의 줄에 걸쳐 두 정수 A B를 빈칸을 사이에 두고 출력하는데, 이는 A번째 탑의 가장 위에 있는 원판을 B번째 탑의 가장 위로 옮긴다는 뜻이다.

예제 입력 1

3

예제 출력 1

7

1 3

1 2

3 2

1 3

2 1

2 3

1 3

 

#include <iostream>
using namespace std;

void hanoi_tower(int n, int from, int tmp, int to) {
    if (n == 1) printf("%d %d\n", from, to); // 1개일땐 그냥 1번에서 3번으로
    else {
        hanoi_tower(n - 1, from, to, tmp); // n-1개의 원판을 1번에서 2번으로
        printf("%d %d\n", from, to);
        hanoi_tower(n - 1, tmp, from, to); // n-1개의 원판을 2번에서 3번으로
    }
}

int main() {
    int n;
    int cnt = 0;
    scanf("%d", &n);

    cnt = (1 << n) - 1; // 비트 연산자 사용 (밑에서 설명)
    printf("%d\n", cnt);
    hanoi_tower(n, 1, 2, 3);
}

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하노이의 탑을 계산하는 프로그램의 시간 복잡도를 구하는 과정은 다음과 같다.

먼저 하노이의 탑에서 n개의 원판을 옮기는데 필요한 연산의 수를 구해보자.

이 때 A(n)을 필요한 연산의 수라고 할 것이다.

위의 알고리즘에서 우리는 n개의 원판을 옮길 때 n-1개의 원판을 먼저 옮기고, 그 후 가장 아래의 1개의 원판을 옮긴

다음, 다시 n-1개의 원판을 옮겼다.

이를 식으로 바꿔주면 A(n) = A(n-1) + 1 + A(n-1) = 2A(n-1) + 1 이다.

 

이 때 A(n-1) = 2A(n-2) + 1 이므로 이를 대입하면 A(n) = 2 ^ 2 * A(n-2) + 2 + 1 이고,

또 A(n-2)는 2A(n-3) + 1임을 이용해 우리는 A(n) = 2^3 * A(n-3) + 4 + 2 + 1 인 것을 알 수 있다.

이 과정을 반복하다보면 결국 A(n) = 2^n-1 * A(1) + ....  + 2^2 + 2^1 + 2^0 이 된다. 

A(1)은 1이니, A(n)은 n개의 항을 가지고, 초항이 1, 공비가 2인 등비수열의 합이다.

따라서 총 연산의 개수는 A(n) = 1*(2^n - 1) / 2 - 1 = 2^n - 1이고, 시간복잡도는 O(2^n)가 된다.

 

A(n) = 2A(n-1) + 1에서 점화식을 이용할 수 도 있다.

A(n+1) = 2A(n) + 1 일 때 A(n+1) + 1 = 2(A(n)+1)이다.

B(n) = A(n) + 1이라 가정하였을 때, B(n+1) = 2B(n)이다.

이 때 B(n)은 첫째 항이 B(1) = A(1) + 1 = 2 이고 공비가 2인 등비수열이다.

따라서 B(n) = 2 * 2^(n-1) = 2^n 이고 B(n) = A(n) + 1이므로, 총 연산의 개수 A(n)은 2^n - 1이고, 

시간복잡도는 O(2^n)가 된다.

 

<출처>

moscowmule.tistory.com/5

[C][순환] 하노이의 탑 계산

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처음에 얼마나 이동했는지 구하는 것은 어떻게 할까 고민하다 cnt라는 전역변수를 만들어,

재귀를 불러 올 때마다 1씩 더해줬다.

무슨 이유 때문인지는 모르겠지만 1씩 더해지지는 않았다.

그래서 찾아본결과 위의 페이지가 제일 정리가 잘 되 있고, 이해도 쉽게 되었다.

아마 재귀가 반복은 아니다보니 cnt가 1씩 올라가진 않았던 것 같다.