백준 / 다이나믹 프로그래밍 / 11052번 / 카드 구매하기 / C++

문제

요즘 민규네 동네에서는 스타트링크에서 만든 PS카드를 모으는 것이 유행이다.

PS카드는 PS(Problem Solving)분야에서 유명한 사람들의 아이디와 얼굴이 적혀있는 카드이다.

각각의 카드에는 등급을 나타내는 색이 칠해져 있고, 다음과 같이 8가지가 있다.

• 전설카드
• 레드카드
• 오렌지카드
• 퍼플카드
• 블루카드
• 청록카드
• 그린카드
• 그레이카드

카드는 카드팩의 형태로만 구매할 수 있고, 카드팩의 종류는 카드 1개가 포함된 카드팩, 카드 2개가 포함된 카드팩, ...

카드 N개가 포함된 카드팩과 같이 총 N가지가 존재한다.

민규는 카드의 개수가 적은 팩이더라도 가격이 비싸면 높은 등급의 카드가 많이 들어있을 것이라는 미신을 믿고 있다. 따라서, 민규는 돈을 최대한 많이 지불해서 카드 N개 구매하려고 한다. 카드가 i개 포함된 카드팩의 가격은 Pi원이다.

예를 들어, 카드팩이 총 4가지 종류가 있고, P1 = 1, P2 = 5, P3 = 6, P4 = 7인 경우에 민규가 카드 4개를 갖기 위해

지불해야 하는 금액의 최댓값은 10원이다. 2개 들어있는 카드팩을 2번 사면 된다.

P1 = 5, P2 = 2, P3 = 8, P4 = 10인 경우에는 카드가 1개 들어있는 카드팩을 4번 사면 20원이고, 이 경우가 민규가

지불해야 하는 금액의 최댓값이다.

마지막으로, P1 = 3, P2 = 5, P3 = 15, P4 = 16인 경우에는 3개 들어있는 카드팩과 1개 들어있는 카드팩을 구매해

18원을 지불하는 것이 최댓값이다.

카드 팩의 가격이 주어졌을 때, N개의 카드를 구매하기 위해 민규가 지불해야 하는 금액의 최댓값을 구하는 프로그램을 작성하시오. N개보다 많은 개수의 카드를 산 다음, 나머지 카드를 버려서 N개를 만드는 것은 불가능하다.

즉, 구매한 카드팩에 포함되어 있는 카드 개수의 합은 N과 같아야 한다.

입력

첫째 줄에 민규가 구매하려고 하는 카드의 개수 N이 주어진다. (1 ≤ N ≤ 1,000)

둘째 줄에는 Pi가 P1부터 PN까지 순서대로 주어진다. (1 ≤ Pi ≤ 10,000)

출력

첫째 줄에 민규가 카드 N개를 갖기 위해 지불해야 하는 금액의 최댓값을 출력한다.

예제 입력 1 

4

1 5 6 7

예제 출력 1 

10

예제 입력 2 

5

10 9 8 7 6

예제 출력 2 

50

예제 입력 3 

10

1 1 2 3 5 8 13 21 34 55

예제 출력 3 

55

예제 입력 4 

10

5 10 11 12 13 30 35 40 45 47

예제 출력 4 

50

예제 입력 5 

4

5 2 8 10

예제 출력 5 

20

예제 입력 6 

4

3 5 15 16

예제 출력 6 

18

 

#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;

const int N = 1e4 + 1;
int p[N];
int dp[N];

int main() {
	ios_base::sync_with_stdio(false);
	cin.tie(NULL);
	
	int n;
	cin >> n;
	
	for(int i=1; i<=n; i++) {
		cin >> p[i];
	}
	
	for(int i=1; i<=n; i++) {
		for(int j=1; j<=i; j++) {
			dp[i] = max(dp[i], dp[i-j] + p[j]);	
		}
	}
	
	cout << dp[n] << '\n';
	
	return 0;
}

---

코드는 되게 단순하지만 뭔가 알고리즘이 생각이안나서 dp에 대해 공부하고 구글링을 좀 해봤다.

일단 코드설명을 해보겠다.

 

p배열은 인덱스를 카드팩에 든 카드의 개수라고 할때, 해당 인덱스에 해당하는 카드팩의 가격이다.

dp배열은 1개살때의 최댓값, 2개살때의 최댓값, ... , n개살때의 최댓값을 저장하는 배열이다.

 

첫번째 for문은 단순히 값을 입력받는 반복문이다.

두번째 for문이 이번 알고리즘의 핵심이라고 할 수 있다.

 

일단 1개의 최댓값을 구한다고 생각해보자.

그러면 dp[1] = p[1] 일것이다.

 

2개 살때는 어떨까?

dp[2] = (p[1] + p[1]) 또는 (p[2]) 일것이다. 말로 표현하자면 한개짜리 카드팩을 두개사거나

두개짜리 카드팩을 한개사는 경우이다. 최댓값을 구하기때문에 둘중 큰것을 선택하면된다.

따라서 dp[2] = max(p[1]+p[1], p[2])로 나타낼 수 있다.

 

그럼 이제 3개 살때의 최댓값을 구해보고 점화식으로 나타내보자.

dp[3] = max(p[1]+p[1]+p[1], p[1]+p[2], p[3]) 셋중에서 하나의 최댓값이다.

 

따라서 n개의 카드를 구입할때의 최댓값은 n개의 카드가 든 카드팩을 한개 구입하거나,

n개 미만의 카드팩들을 조합해서 합쳐서 딱 n개가 되게 만드는 것들을 모두 구해서 비교해야한다.

 

하지만 하나씩 전부 p의 합으로 나타내지 않아도된다.

5개를 구입할때의 최댓값을 구하는 경우를 생각해보자.

이미 dp[3]을 가지고있다면(3개 살때의 최댓값) dp[3] + p[2]로 나타낼 수 있다.

말로 풀어쓰면 3개 살때의 최댓값 + 2개가 든 카드팩의 값이다.

그래서 총 경우의 수는 아래와 같다.

• max(dp[5], dp[4]+p[1])
• max(dp[5], dp[3]+p[2])
• max(dp[5], dp[2]+p[3])
• max(dp[5], dp[1]+p[4])

max의 뒷쪽 매개변수가 반복으로 나타낼 수 있는것으로 보인다.

그리고 dp[5]를 구하기위해서 앞의 것들도 다 구해야 하기때문에 반복문이 필요하다.

따라서 2중반복문을 통해 위와같은 for반복문이 만들어지는 것이다.